bzoj 1009

[HNOI2008]GT考试

Description

阿申准备报名参加GT考试，准考证号为 $N$ 位数 $X_1X_2\dots{}X_n(0 \le X_i \le 9)$ , 他不希望准考证号上出现不吉利的数字。他的不吉利数学 $A_1A_2\dots{}A_m(0\le A_i \le 9)$ 有 $M$ 位，不出现是指 $X_1X_2 \dots X_n$ 中没有恰好一段等于 $A_1A_2 \dots A_m$ . $A_1$ 和 $X_1$ 可以为 $0$ .

Input

第一行输入 $N,M,K$ . 接下来一行输入 $M$ 位的数. $N \le 10^9, M \le 20, K \le 1000$ .

Output

阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模 $K$ 取余的结果.

Sample Input

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111

Sample Output

题解

设 $f[i][j]$ 表示考虑到第 $i$ 位，其后缀最大能匹配到不吉利数字前面 $j(0 \le j < M)$ 位的方案数. 则有

$f[i][j] = \sum_{l = 0}^{M - 1}a_{jl}f[i-1][l], \quad 0 \le j < M$

式中 $a_{jl}$ 的意义是 $A_l$ 加上一个字符后其后缀是 $A_j$ 的方案数.

边界条件 $f[0][0] = 1, f[0][1..(M-1)] = 0$ .

显然这可以用矩阵快速幂加速，最后答案就是 $\sum_{i=0}^{M-1}f[N][i]$ .

现在考虑怎么求出系数 $a_{ji}$ . 初始令所有的 $a_{ji} = 0$ . 我们用 KMP 处理出串 $A$ 的失配函数 $p[1..M]$ ，遍历每一位 $A_i$ ，枚举添加的字符 $c$ ，然后令 $j = i$ ，如果 $A_{j+1} \ne c$ ，则令 $j = p[j]$ 直到 $A_{j+1} = c$ 或者 $j = 0$ . 接着如果 $A_{j+1} = c$ ，则表示在 $A[1..i]$ 后添加一个字符 $c$ 的话， $A[1..(j+1)]$ 是这个串的一个后缀，且是最长的一个是 $A$ 的一个前缀的后缀，也就是说状态 $f[s-1][i]$ 可以转移到 $f[s][j+1]$ ，于是我们令 $a_{(j+1)i}$ 加上 $1$ . 否则必有 $j = 0$ ，就是说 $A[1..i]$ 添加字符 $c$ 后，没有后缀是 $A$ 的一个前缀，那么状态 $f[s-1][i]$ 也就转移到了 $f[s][0]$ ，令 $a_{0i}$ 加 $1$ 即可.

代码

#include <cstdio>

using namespace std;

int k;
inline void add(int &dest, int delta)
{
    dest += delta;
    if (dest < 0) dest += k;
    if (dest >= k) dest -= k;
}
inline void mul(int &dest, int times)
{
    dest *= times;
    dest -= dest / k * k;
}
inline int rmul(int a, int b)
{
    int z = a * b;
    return z - z / k * k;
}

int M;

#define MATSZ (1 << 5)
/* dest = b * dest */
void matmul(int dest[MATSZ][MATSZ], int b[MATSZ][MATSZ])
{
    int tmp[MATSZ][MATSZ] = {{0}};
    for (int i = 0; i < M; i++)
        for (int j = 0; j < M; j++)
            for (int l = 0; l < M; l++)
                add(tmp[i][j], rmul(b[i][l], dest[l][j]));
    for (int i = 0; i < M; i++)
        for (int j = 0; j < M; j++)
            dest[i][j] = tmp[i][j];
}

char A[MATSZ];
int f[MATSZ];
int trans[MATSZ][MATSZ];

void calc_transMAT(void)
{
    int i, j;
    f[1] = j = 0;
    for (i = 2; i <= M; i++)
    {
        while (j  && A[i] != A[j + 1]) j = f[j];
        if (A[i] == A[j + 1]) j++;
        f[i] = j;
    }
    for (i = 0; i < M; i++)
        for (j = '0'; j <= '9'; j++)
        {
            int l = i;
            while (l && A[l + 1] != j) l = f[l];
            if (A[l + 1] == j) l++;
            /* i -> l is possible */
            if (l < M) add(trans[l][i], 1);
        }
}

int dp[MATSZ][MATSZ];

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d%d%d", &n, &M, &k);
    scanf("%s", A + 1);
    calc_transMAT();
    dp[0][0] = 1;
    while (n)
    {
        if (1 & n) matmul(dp, trans);
        matmul(trans, trans);
        n >>= 1;
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < M; i++)
        add(ans, dp[i][0]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

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